در باب اصل توازی

روزنوشت‌ها


حالا که شب کش می‌آمد، داشتم در بلاگ می‌چرخیدم که دیدم دوستی کامنتی خصوصی راجع به پست زیر ارسال کرده و درش متذکر شده که: «مگر بقیه‌ی اصول ریاضی قابل اثبات‌اند که فهمیده‌ای نمی‌شود اصل توازی را اثبات کرد؟»

برهان خلف و چیزهای دیگر
در ذات برهان خلف، طنزی بسیار عمیق نهفته‌ست. تو می‌گویی: «من فکر می‌کنم احمقی. اما با تو بحثی ندارم. احمق باش. فقط آرزو دارم که سرت به سنگ بخورد.» بعد تمام تلاش‌مان را می‌کنیم که سرش به سنگ بخورد.

به نظرم رسید، در این باب، برای آن‌هایی که به تاریخ علم علاقه دارند، چیزی زیبا نهفته است و بهتر دیدم که این‌جا توضیحاتی راجع به پست قبلی بنویسم.

اصل توازی... در دوران کهن، حل نهایی مسئله‌ای بود که بایستی ریاضیات یونان را زمانی دراز پیش از اقلیدس به خود مشغول داشته باشد.
- هانس فرویدنتال

اقلیدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد، چیزهایی از پیشینیان جمع کرد و چیزهایی افزود، که نتیجه شد یکی از شاهکارهای بی‌نظیر جهان ریاضی، یعنی کتاب اصول.

اقلیدس از ۵ اصلِ بدیهی، چیزی در حدود ۴۶۵ گزاره را نتیجه گرفت، که اصلا بدیهی نبودند؛ و اهمیت کار او در این‌جا بود که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت. روش کاری مستحکم و قابل اطمینان، که بعدها توسط فیلسوفان بزرگی چون دکارت و کانت هم استفاده شد.

اکثر اصول موضوعه‌ی اقلیدس تا قرن ۱۹ مورد تایید همه‌گان بود، جز یکی. یکی که از همان ابتدا، پر از شک و تردید بود. یعنی اصل توازی!

چرا؟ مگر اصول با هم چه فرقی دارند؟ این‌ها چهار اصل اول هندسه‌ی اقلیدسی هستند، به نقل از ویکی‌پدیا:

اصل ۱. از هر ۲ نقطه فقط ۱ پاره خط می‌گذرد.

اصل ۲. هر پاره خط را می‌توان تا بی‌نهایت در امتداد خط راستی ادامه داد.

اصل ۳. برای هر پاره خط دلخواه می‌توان دایره‌ای به شعاع آن پاره خط و به مرکز یک سر آن رسم کرد.

اصل ۴. تمام زوایای راست برهم منطبق می‌شوند.

و اصل پنجم، که همان اصل توازی است را به شیوه‌ای ساده‌تر می‌توان این‌گونه تعریف کرد:

۵. دو خط با هم موازی‌اند، هر گاه متقاطع نباشند، یعنی نقطه‌ای پیدا نشود که بر هر دو خط واقع باشد!

اما چه فرقی بین چهار اصل اول و اصل توازی وجود داشت که برای قرن‌ها ذهن ریاضی‌دان‌ها را به خود مشغول کرده بود؟ این اصل ممکن است برای ما بدیهی جلوه کند، احتمالا دلیل‌ش این باشد که از دوران مدرسه با پیش‌فرض‌های اقلیدس بزرگ شده‌ایم. اما اگر از پیش‌فرض‌ها رها شویم، این اصل به اندازه‌ی چهار اصل اول، بدیهی نیست.

دو اصل اول از تجربیات ما با خط‌کش ایجاد شده‌اند؛ اصل سوم را با پرگار تجربه کرده‌ایم و اصل چهارم با این‌که تجریدی‌ با بداهت کم‌تر به نظر می‌رسد اما می‌توان آن را با نقاله تحقیق کرد.

اما اصل پنجم را نمی‌توانیم به صورت تجربی تحقیق کنیم که آیا دو خط موازی هم‌دیگر را می‌برند یا نه؛ چرا که ما فقط می‌توانیم پاره‌خط‌ها را رسم کنیم، نه خط‌ها را. پس چه کار می‌توانیم بکنیم؟ باید اصل را با چیزهایی غیر مستقیم و غیر از ملاک بالا تعریف کنیم. برای قرن‌ها ریاضی‌دان‌ها سعی در تعریف اصل پنجم با چهار اصل قبلی داشتند؛ یا چیزهایی که بدیهی‌تر باشند. اما همه‌ی تلاش‌ها به بن‌بست می‌رسید. چون معلوم می‌شد که غیر مستقیم از همان اصل توازی استفاده کرده‌اند. (می‌توانید برای مشاهده‌ی این تلاش‌ها، در گوگل سرچ کنید. تلاش‌هایی بسیار خلاقانه، اما در نهایت دور می‌زنند و به همان اصل توازی می‌رسند.)

به نظر می‌رسد که خود اقلیدس هم از مشکل موجود در اصل پنجم، آگاه بوده، چرا که استفاده از آن را تا اثبات قضیه‌ی ۲۹‌ـم خودش به تعویق انداخته.

در قرن ۱۹‌ـم انقلابی در نحوه‌ی شناخت ما از دنیا و هستی پدید آمد. اصل توازی دچار تغییر شد و دنیای تازه شگفت‌انگیزی کشف شد. دنیای که در آن مجموع زوایای مثلث‌ها متفاوت است، مستطیل وجود ندارد و خطوط موازی می‌توانند به‌هم نزدیک شوند و یا از هم دور شوند. در ضمن داستان هیجان‌انگیزی هم از کشف هم‌زمان هندسه‌ی هذلولوی توسط گاوس، بویویی و لباچوسکی وجود دارد، که اگر نگارنده بعدا حوصله داشته باشد، با جزئیات تعریف خواهد کرد و کلی هم بین‌ش خطبه‌های فلسفی خواهد خواند.

این تغییر آن‌چنان بنیادی بود که به یک‌بار علم را جلو راند؛ لابد می‌دانید که نظریه‌ی نسبیت انیشتین روی همین هندسه‌ی نااقلیدسی تعریف شده است.

فهمیدیم که دنیا آن‌طور که فکر می‌کردیم نیست. و اشیا به واقع طور دیگری هستند، هر چند هنوز هم با هندسه‌ی اقلیدسی می‌توانیم بخشی از دنیا را تعریف کنیم.

اما نکته‌ در این پست، یک استراتژی بی‌نهایت زیباست. یعنی استراتژی «تغییر دیدگاه» که خواستگاه آن همین جناب اقلیدس است. استراتژی تغییر دیدگاه، درباره‌ی فکر کردن خارج از تمام پیش‌فرض‌هاست. ما روشی را آموخته‌ایم و در آن تلاش می‌کنیم تا مشکلی را حل کنیم؛ در صورت شکست، این استراتژی از ما می‌خواهد که همه‌ی اصول و قواعدی که پذیرفته‌ایم را بریزیم دور و بار دیگر به مسئله نگاه کنیم. آن‌وقت شانس بیشتری برای یافتن راه‌حل مسئله پیش‌روی خواهیم داشت.

پیشرفت‌های عجیب و غریب قرن نوزده، مدیون استفاده از همین دیدگاه است. شب هزارساله‌ی اروپا، با تغییر دیدگاهی همگانی راجع به طبیعت، دین، فلسفه و علم به پایان رسید. به گمانم پیش‌فرض این استراتژی، البته که شهامت است. شهامت دور ریختن هر آن‌چه پذیرفته‌ایم و بررسی دوباره. اگر حقیقت باشند، باز به آن‌ها ایمان خواهیم آورد.

در این‌جا بد نیست، یکی از مشعل‌های روشن‌کننده‌ی راه روشن‌گری در قرن ۱۹ را بخوانید؛ کانت در جواب سوال «روشنگری چیست؟» این‌گونه گفته بود:

روشنگری خروج انسان از صغارتی است که خود بر خویش تحمیل کرده‌است. صغارت، ناتوانی در به‌کاربردن فهمِ خود بدون راهنمایی دیگری است. این صغارت، خودْ تحمیلی است اگر علت آن نه در سفیه بودن بلکه در فقدانِ عزم و شهامت در به کارگیری فهم خود بدون راهنمایی دیگری باشد. شعار روشنگری این است: در به کار گیری فهم خود شهامت داشته باش.

اما درباره‌ی کامنت آن دوستِ نادیده، اصول را بدون اثبات می‌پذیریم؛ بهتر بود به جای این‌که بنویسم «هیچ‌وقت قابل اثبات نیست» می‌نوشتم «هیچ‌وقت قابل اطمینان نیست.»

امین زمانی

من آدم‌ها، سینما، کتاب‌ها و الگوریتم‌ها را دوست دارم!
 
این نوشته در #روزنوشت‌هامنتشر شده. نوشته‌های دیگر با این هشتگ:

نظرات

اصل نوشته‌ها برای خوانده شدن هستند. این‌جا دربارهٔ سینما، ادبیات، و بیشتر از همه زندگی می‌نویسم. کپی از نوشته‌ها مجاز است اگر فکر می‌کنید باید جای دیگری هم منتشر شوند؛ اسم دیزالوْ را هم اگر بیاورید که چه بهتر.

© ۱۳۹۶ - ۱۴۰۰ وبلاگ دیزالوْ